Question

3．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b-c=$\frac{1}{3}$a，sinB=2sinA，则tan（B+C）=$-\frac{2\sqrt{14}}{13}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理化角为边，得到b=2a，c=$\frac{5}{3}a$，再由余弦定理求得cosA，利用同角三角函数基本关系式得答案．

解答 解：由sinB=2sinA，得b=2a，又b-c=$\frac{1}{3}$a，
∴b=2a，c=$\frac{5}{3}a$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{4{a}^{2}+\frac{25{a}^{2}}{9}-{a}^{2}}{2•2a•\frac{5}{3}a}=\frac{13}{15}$，
∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{15}{13}）^{2}}=\frac{2\sqrt{14}}{15}$，则tanA=$\frac{2\sqrt{14}}{13}$．
故答案为：$-\frac{2\sqrt{14}}{13}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，是中档题．