Question

如下图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.

(1)求证:EF⊥平面PAB;

(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.

Answer 1

解：以D为坐标原点,DA的长为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.

(1)证明如下,设E(a,0,0),其中a＞0,则C（2a,0,0）,A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12,12).

=(0,,),=(2a,1,-1),

=(2a,0,0).

·=0.∴⊥.

·=0.∴EF⊥AB.

又PB平面PAB,AB平面PAB,PB∩AB=B.

∴EF⊥平面PAB.

(2)由AB=BC,得a=.

可得=(,-1,0),

=(,1,-1).

cos〈,〉=.

异面直线AC、PB所成的角为arccos.

=(,-,).

∴·=0.PB⊥AF.

又PB⊥EF,EF、AF为平面AEF内两条相交直线.

∴PB⊥平面AEF.

∴AC与平面AEF所成的角为-arccos=arcsin.

即AC与平面AEF所成的角为arcsin.