Question

6．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B₁，B₂及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形，M是C上异于B₁，B₂的一个动点，△MB₁B₂的重心为G，G点的轨迹记为C₁．
（Ⅰ）（i）求C的方程；
（ii）求证：C₁与C相似；
（Ⅱ）过B₁点任作一直线，自下至上依次与C₁、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）设C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{c=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求C的方程；
（ii）求出轨迹C₁，可得离心率相等，即可证明C₁与C相似；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx-3（k＞0），代入椭圆方程，求出相应线段的长，可得$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可确定$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$的取值范围．

解答 （Ⅰ）（i）解：设C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{c=\sqrt{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=6，b=3，
∴C的方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（ii）证明：设G（x，y），M（x₀，y）（x₀≠0），则x₀=3x，y₀=3y
把点M（3x，3y）的坐标代入C的方程，得轨迹C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠0），
∴轨迹C₁也为椭圆（除去（0，-1），（0，1）两点），求得a₁=2，c₁=$\sqrt{3}$，e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e₁=e，
∴C₁与C相似；
（Ⅱ）解：设直线方程为y=kx-3（k＞0），代入C的方程得（1+4k²）x²-24kx=0，∴x_S=$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，y_S=$\frac{12{k}^{2}-3}{1+4{k}^{2}}$，
∴$|{B}_{1}S{|}^{2}$=$\frac{（24k）^{2}（1+{k}^{2}）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
代入C₁的方程得（1+4k²）x²-24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞$\sqrt{2}$，
由韦达定理得x_P+x_R=$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，x_Px_R=$\frac{32}{1+4{k}^{2}}$，
∴|PR|²=（1+k²）[$\frac{（24k）^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{128}{1+4{k}^{2}}$]．
∵|AQ|=6-$\frac{3}{k}$=$\frac{3（2k-1）}{k}$，
∴$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$
令f（k）=$\frac{128k（1+{k}^{2}）}{3（1+4{k}^{2}）（2k-1）}$（k$＞\sqrt{2}$）
则f′（k）=$\frac{1}{3}$•$\frac{128[4{k}^{4}+{k}^{2}（12k-1）+1]}{（8{k}^{3}-4{k}^{2}+2k-1）^{2}}$＜0
∴f（k）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是减函数，
∴$f（k）＜f（\sqrt{2}$）=$\frac{128（4+\sqrt{2}）}{63}$
∴0＜$\frac{|{B}_{1}S{|}^{2}-|PR{|}^{2}}{|AQ|}$＜$\frac{128（4+\sqrt{2}）}{63}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．