Question

如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（1）求证：BE∥平面ADF；
（2）若矩形ABCD的一个边AB=3，另一边BC=2

3

，EF=2

3

，求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据平面图形矩形ABCD可得BC∥AD，由线面平行的判定可得BC∥平面ADF，由CE∥DF可得CE∥平面DCF．由面面平行的判定可得平面BCE∥平面ADF，进而得到结论．
（2）根据图形，要将几何体的体积转化为：V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD在梯形CEFD中，求得CE=3

3

，DF=4

3

．再由棱锥体积分别求解．最后求和．

解答：解：（1）由矩形ABCD得BC∥AD，推出BC∥平面ADF，由CE∥DF得CE∥平面DCF．
所以平面BCE∥平面ADF，从而BE∥平面DCF．（6分）
（2）连接BD，几何体ABCDEF的体积V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD
在梯形CEFD中，EF⊥DE，CE⊥CD，CE⊥DF，由CD=3，EF=2

3

解得：CE=3

3

，DF=4

3

．
∴VF-ABD=

1

3

×

1

2

AB•AD•DF=

1

6

×3×2

3

×4

3

=12
VB-CEFD=

1

3

×

1

2

(CE+DF)•DC•BC=21
V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD=33

点评：本题主要考查线面，面面平行，垂直的判定定理和性质定理的灵活运用，同时还考查了几何休的体积，往往通过转化，利用割补法求解，属中档题．