Question

3．集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．
（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；$\sum_{A∈D}{\;}$表示对子集族D中所有成员A求和）；
（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对?A∈D，记k=max|A|，$f（k）=max\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$（其中max表示最大值），
（ⅰ）求f（2）；
（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D，并计算此时$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$的值；
（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D_k，
（ⅰ）易知当D=D₂时，$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$达到最大值，求出f（2）的值即可；
（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k-2元的子集族，D''为k-1元或k元的子集，则求出$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$，设D''有l（$l≤C_n^k$）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k-1元子集至多出现在n-k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有$C_k^{k-1}$个k-1元子集，故l个k元子集至少产生$\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}$个不同的k-1元子集，求出f（k）即可．

解答 解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…（2分）
此时$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}={（-1）^0}+{（-1）^1}+{（-1）^1}+{（-1）^2}=0$…（4分）
（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D_k，
（ⅰ）易知当D=D₂时，$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$达到最大值，
∴$f（2）={（-1）^0}+{（-1）^1}C_n^1+{（-1）^2}C_n^2=1-n+\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{{n^2}-3n+2}}{2}$…（6分）
（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k-2元的子集族，D''为k-1元或k元的子集，
则$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}$=$\sum_{A∈{D^'}}{{{（-1）}^{|A|}}}+\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}≤f（k-2）+\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}$…8 分
现设D''有l（$l≤C_n^k$）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k-1元子集至多出
现在n-k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有$C_k^{k-1}$个k-1元子集，故l个k元子集至少产生$\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}$个不同的k-1元子集．$\sum_{A∈{D^{''}}}{{{（-1）}^{|A|}}}≤l-\frac{{lC_k^{k-1}}}{n-k+1}=l（1-\frac{k}{n-k+1}）≤C_n^k（1-\frac{k}{n-k+1}）=C_n^k-C_n^{k-1}$$\sum_{A∈D}{{{（-1）}^{|A|}}}≤f（k-2）-C_n^{k-1}+C_n^k=f（k）$
由（ⅰ）得$f（k）={（-1）^0}+{（-1）^1}C_n^1+{（-1）^2}C_n^2+…+{（-1）^k}C_n^k=\sum_{i=1}^k{{{（-1）}^i}C_n^i}$…（13分）

点评 本题考查了子集与真子集，考查了新定义子集族，是中档题．