Question

10．已知{a_n}的通项公式为a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，则前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，∴a_2k-1+a_2k=-（2k-1）+2^2k-1+2k+2^2k=1+$\frac{3}{2}×{2}^{2k}$．当n为偶数时，则前n项和S_n=S_2k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k），再利用等比数列的前n项和公式即可得出．当n为奇数时，则前n项和S_n=S_2k-2+a_n．

解答 解：∵a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N⁺，
∴a_2k-1+a_2k=-（2k-1）+2^2k-1+2k+2^2k=1+$\frac{3}{2}×{2}^{2k}$．
当n为偶数时，则前n项和S_n=S_2k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=k+$\frac{3}{2}$×$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=$\frac{n}{2}$+2（4^k-1）=$\frac{n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．
当n为奇数时，则前n项和S_n=S_2k-2+a_n=$\frac{n-1}{2}$+2ⁿ-2-n+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n+1}{2}$．
综上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．
故答案为：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}+{2}^{n+1}-2，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-2-\frac{n+1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．