Question

9．若函数f（x）=sinax-cosax（a＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为π．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{2}$，且a、b、c成等比数列，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式，由题意可得T，进一步求得a，则函数解析式可求；
（2）由$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{2}$求得B，再由已知求得ac的值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）由条件知，f（x）=sinax-cosax=$\sqrt{2}sin（ax-\frac{π}{4}）$，且T=π，
∴T=$π=\frac{2π}{a}$，则a=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$；
（2）由（1）知f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{2}sin（B-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，即sin（B-$\frac{π}{4}$）=1，
∵0＜B＜π，∴B-$\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，得B=$\frac{3π}{4}$．
又∵b²=ac，b=2，∴ac=4．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了利用正弦定理求三角形的面积，是中档题．