Question

16．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个顶点作一条渐近线的垂线，垂足为P，记以双曲线的实轴为长轴且过点P的椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，则$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用特殊值法进行求解．不妨设双曲线为x²-y²=1，根据直线和渐近线的垂直关系，求出P的坐标，建立方程关系求出b，根据离心率的定义进行求解即可．

解答 解：不妨设双曲线为x²-y²=1，则A（1，0），则椭圆方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则双曲线的渐近线为y=±x，过A的直线与y=x垂直的直线方程为y=-（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x-1）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
点P在x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，∴$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1$得b²=$\frac{1}{3}$，则椭圆方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{3}}$=1，
则椭圆的离心率e₁=$\frac{\sqrt{1-\frac{1}{3}}}{1}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，双曲线的离心率e₂=$\sqrt{2}$，
则$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线和椭圆的离心率的计算，根据条件求出交点坐标是解决本题的关键．本题由于运算量比较，在求解的过程中使用的特殊值进行求解．