Question

7．若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x²，g（x）=2elnx，则f（x）和g（x）之间的“隔离直线”的方程为$y=2\sqrt{e}x-e$．

Answer 1

分析 若f（x）和g（x）存在隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．利用函数的导数求出切线方程即可得到结论．

解答 解：令m（x）=f（x）-g（x）=x²-2elnx（x＞0），再令m′（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=0，解得 x=$\sqrt{e}$．
从而函数f（x）和g（x）的图象在x=$\sqrt{e}$处有公共点．此时公共点为（$\sqrt{e}$，e），
因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-$\sqrt{e}$），即y=kx-k $\sqrt{e}$+e．
由f（x）≥kx-k $\sqrt{e}$+e可得 x²-kx+k $\sqrt{e}$-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k²-4k$\sqrt{e}$+4e=${（k-2\sqrt{e}）}^{2}$≤0，只有k=2 $\sqrt{e}$时，等号成立，此时直线方程为：y=2 $\sqrt{e}$x-e．
同理证明，由g（x ）≤kx-k $\sqrt{e}$+e，可得只有k=2 $\sqrt{e}$时，等号成立，此时直线方程为：y=2 $\sqrt{e}$x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2 $\sqrt{e}$x-e．
故答案为：y=2 $\sqrt{e}$x-e

点评 本题主要考查函数的切线和导数之间的关系，根据隔离直线的定义，确定隔离直线是两个函数的公共切线是解决本题的关键．