Question

4．在直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，A是C上的动点，且满足|AF|的最小值为2-$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取一点B，使OA⊥OB，求证：点O到直线AB的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）利用|AF|的最小值为2-$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，c，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论

解答 （1）解：∵|AF|的最小值为2-$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a-c=2-$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$a=2，c=\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴原点O到直线的距离为d=|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
综上，点O到直线AB的距离为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．