Question

20．如图，半圆O的直径为1，A为直径延长线上的一点，OA=1，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则四边形OACB面积的最大值为$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．

解答 解：四边形OACB的面积S_OACB=S_△OAB的面积+S_△ABC的面积
设∠AOB=θ，
则S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{4}$+1-2×$\frac{1}{2}×1×$cosθ）=$\frac{\sqrt{3}}{16}$（5-4cosθ），
S_△OAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ=$\frac{1}{2}$$•1•\frac{1}{2}$•sinθ=$\frac{1}{4}$sinθ，
S_OACB=$\frac{\sqrt{3}}{16}$（5-4cosθ）+$\frac{1}{4}$sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$sin（θ-60°），
∴当θ-60°=90°，
即θ=150°时，S_OACB最大，最大面积为$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查余弦定理，两角差的正弦公式的应用，得到四边形OABC的面积为S=S_△AOC+S_△ABC =$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$sin（θ-60°）是解题的关键，属于中档题．