Question

5．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}+b{x^2}$为奇函数，且f（1）=$\frac{1}{2}$．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）f（x）为奇函数，可得f（-1）=-f（1），结合f（1）=$\frac{1}{2}$，即可求a，b的值；
（2）$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$在（-1，1）上单调递增，用定义加以证明．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1），
∴$-\frac{a}{2}+b=-（\frac{a}{2}+b）$，∴b=0，
又∵$f（1）=\frac{1}{2}$，∴$\frac{a}{2}=\frac{1}{2}$，∴a=1，
∴a=1，b=0．
（2）$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$在（-1，1）上单调递增，
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{x_1^2+1}-\frac{x_2}{x_2^2+1}$=$\frac{{{x_1}（x_2^2+1）-{x_2}（x_1^2+1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴$（x_1^2+1）（x_2^2+1）＞0$，x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评 本题考查了函数的性质的判断与证明及应用，属于基础题．