Question

2．设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-2，其导函数y=f′（x）的图象是经过点（-1，0），（1，0）开口向上的抛物线，如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若m≠-2，且过点（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，根据图象可得f'（1）=0，f'（1）=0，f（1）=-2，即可求出a，b，c的值，
（2）先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围

解答 解：（1）由图象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（-1，1）上f'（x）＜0．在（1，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上递增，在（-1，1）上递减．
因此f（x）在x=1处取得极小值，
∴f（1）=a+b+c=-2
∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
∴f'（-1）=0，f'（1）=0，
∴-1+1=$\frac{-2b}{3a}$，即b=0，-1×1=$\frac{c}{3a}$，即c=-3a，
∴a=1，b=0，c=-3，
∴f（x）=x³-3x，
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根、
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2
由题意有，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+3＞0}\\{m+2＜0}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜-2时函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．