Question

18．在数列{a_n}中，a_n=cos$\frac{π}{3×{2}^{n-2}}$（n∈N^*）
（1）试将a_n+1表示为a_n的函数关系式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=1-$\frac{2}{n•n!}$（n∈N^*），猜想a_n与b_n的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用数列的通项公式化简求解递推关系式即可．
（2）通过当n=1时，当n=2时，当n=3时，计算结果猜想：当n≥3时，a_n＜b_n，然后利用数学归纳法的坐标方法证明即可．

解答 解：（1）${a_n}=cos\frac{π}{{3×{2^{n-2}}}}$=$cos\frac{2π}{{3×{2^{n-1}}}}$═$2{（{cos\frac{π}{{3×{2^{n-1}}}}}）^2}-1$∴${a_n}=2{a_{n+1}}^2-1$
∴${a_{n+1}}=±\sqrt{\frac{{{a_n}+1}}{2}}$
又n∈N^*，n+1≥2，a_n+1＞0∴${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{{{a_n}+1}}{2}}$…（3分）
（2）当n=1时，${a_1}=-\frac{1}{2}$，b₁=1-2=-1，∴a₁＞b₁
当n=2时，${a_2}=\frac{1}{2}$，${b_2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，∴a₂=b₂
当n=3时，${a_3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${b_3}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$，∴a₃＜b₃…（4分）
猜想：当n≥3时，a_n＜b_n，…（5分）
下面用数学归纳法证明：
证：①当n=3时，由上知，a₃＜b₃，结论成立．
②假设n=k，k≥3，n∈N^*时，a_k＜b_k成立，即${a_k}＜1-\frac{2}{k•k!}$
则当n=k+1，${a_{k+1}}=\sqrt{\frac{{{a_k}+1}}{2}}$$＜\sqrt{\frac{{2-\frac{2}{k•k!}}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{k•k!}}$，${b_{k+1}}=1-\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}$
要证a_k+1＜b_k+1，即证明${（{\sqrt{1-\frac{1}{k•k!}}}）^2}$$＜{（{1-\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}$
即证明$1-\frac{1}{k•k!}$$＜1-\frac{4}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}$
即证明$\frac{1}{k•k!}-\frac{4}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}＞0$
即证明$\frac{{{{（{k-1}）}^2}}}{{k（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}＞0$，显然成立．
∴n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知：当n≥3时，a_n＜b_n成立．
综上可得：当n=1时，a₁＞b₁；当n=2时，a₂=b₂
当n≥3，n∈N^*时，a_n＜b_n   …（10分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．