Question

15．已知二次函数y=f（x）满足：f（0）=0且f（x+1）=f（x）+2x+5．
求：（1）f（x）的表达式；
（2）求函数y=f（x）在[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数，利用已知条件求解即可．
（2）求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函数
∴设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=0，∴c=0，
∵f（x+1）=f（x）+2x+5
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+5，
∴2ax+a+b=2x+5，
∴a=1，b=4
∴f（x）=x²+4x．
（2）对称轴x=-2，
?当t+3＜-2，即t＜-5时，f（x）在[t，t+3]上单调递减，所以f（x）_min=f（t+3）=（t+3）²+4（t+3）=t²+10t+21，
?当t＞-2时，f（x）在[t，t+3]上单调递增，所以f（x）_min=f（t）=t²+4t，
当t≤-2≤t+3即-5≤t≤-2时，所以，
f（x）_min=f（-2）=-4．
综上的f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+10t+21，t＜-5}\\{-4，-5≤t≤-2}\\{{t}^{2}+4t，t＞-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查抽象函数的应用，二次函数的最值的求法，函数的解析式的求法，考查计算能力．