Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4cosx，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（sin（x+$\frac{π}{6}$），-1），且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，则sin（2x+$\frac{7π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积的定义写出且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0的坐标表达式，根据两角和的正弦公式的逆运用及二倍角公式，化简求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，根据诱导公式求得sin（2x+$\frac{7π}{6}$）的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴4cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{3}$=0，
∴4cosxsinxcos$\frac{π}{6}$+4cosxcosxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$，
2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$-\frac{2}{3}$，
$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$-\frac{2}{3}$，
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2}{3}$，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
sin（2x+$\frac{7π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$+π）=$\frac{1}{3}$，
故答案选：D．

点评 本题考查向量数量积的坐标表达，两角和的正弦公式及二倍角公式，属于中档题．