Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足a2-b2-c2+

3

bc=0，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为

14

．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由a²-b²-c²+

3

bc=0得：a²-b²-c²=-

3

bc，即b²+c²-a²=

3

bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

6

，
由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=

1

2

，
则B=

π

6

；
（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=

2π

3

，
由余弦定理得AM²=x²+

x2

4

-2x•

x

2

•（-

1

2

）=14，
解得：x=2

2

，
则S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×2

2

×2

2

×

3

2

=2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．