Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若存在常数M，使得对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，满足等式

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2

[f（x₁）+f（x₂）=M，则称M为函数y=f（x）在D上的“J值”
（1）写出下列三个函数中“J值”的函数序号，并写出“J值”．

（2）已知函数f（x）=log

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2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值为1，x₁，x₂∈D，且满足“J值”概念，证明x₁•x₂为定值．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“J值”的函数的等价条件求出判断函数的最大值和最小值即可得到结论．
（2）根据函数f（x）=log

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2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值为1，结合对数函数的运算法则进行证明即可．

解答： 解：（1）根据“J值”的函数的定义，若满足是“J值”的函数，则函数应该是对称函数，
①若函数满足“J值”的函数，则M应为函数最大值和最小值和的一半，
∵y=3^x在[0，1）上没有最大值，故M不存在，不是“J值”的函数．
②y=-x+2，关于点（0，2）对称，则是“J值”的函数，且

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[f（x₁）+f（x₂）=1，“J值”为1．
③y=sinx，关于点（0，0）对称，则是“J值”的函数，且

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2

[f（x₁）+f（x₂）]=0，“J值”为0．
（2）若函数f（x）=log

1

2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值为1，x₁，x₂∈D，
则

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=1，即f（x₁）+f（x₂）=2，
则log

1

2

x₁+log

1

2

x₂=2，即log

1

2

（x₁x₂）=2，则x₁x₂=

1

4

为定值．

点评：本题主要考查函数的新定义的应用，正确理解“J值”的函数的定义是解决本题的关键．