Question

18．若$\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{12}$＜β＜$\frac{π}{3}$，cos（α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，sin（$\frac{π}{3}$+2β）=$\frac{1}{6}$，则sin（α-2β）=$\frac{2\sqrt{35}+\sqrt{5}}{18}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{5π}{6}$）、cos（$\frac{π}{3}$+2β）的值，再利用诱导公式，两角和差的正弦公式，求得sin（α-2β）=-cos[（α+$\frac{5π}{6}$）-（$\frac{π}{3}$+2β）]的值．

解答 解：由 $\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{12}$＜β＜$\frac{π}{3}$，可得α+$\frac{5π}{6}$∈（ $\frac{3π}{2}$，2π），2β+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∵cos（α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，sin（$\frac{π}{3}$+2β）=$\frac{1}{6}$，∴sin（α+$\frac{5π}{6}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{5π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
cos（$\frac{π}{3}$+2β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（2β+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{35}}{6}$，
∴sin（α-2β）=-cos[（α+$\frac{5π}{6}$）-（$\frac{π}{3}$+2β）]=-cos（α+$\frac{5π}{6}$）cos（$\frac{π}{3}$+2β）-sin（α+$\frac{5π}{6}$）sin（$\frac{π}{3}$+2β）
=-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{\sqrt{35}}{6}$）-（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）•$\frac{1}{6}$=$\frac{2\sqrt{35}+\sqrt{5}}{18}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{35}+\sqrt{5}}{18}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．