已知O为原点.椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点为E.上顶点为F.过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线EF于点D.若直线OD斜率是直线EF的斜率的$\sqrt{2}$+1倍．(1)求椭圆C的离心率,(2)若椭圆C的焦距为2$\sqrt{2}$.设M(x0.y0)为椭圆C上的动点.A.直线AM与椭圆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知O为原点，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为E，上顶点为F，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线EF于点D，若直线OD斜率是直线EF的斜率的$\sqrt{2}$+1倍．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C的焦距为2$\sqrt{2}$，设M（x₀，y₀）为椭圆C上的动点，A（-2$\sqrt{2}$，0），直线AM与椭圆交于另一点P，且$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AP}$，试探讨是否存在实数m，使得mx₀-λ为定值？若存在，求出m的值及此定值，若不存在，请说明理由．

分析（1）写出EF所在直线方程，得到D的坐标，由斜率关系即可求得椭圆离心率；
（2）由（1）中所求椭圆离心率及焦距求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求，设出P得坐标，由向量等式把M的坐标用P得坐标表示，再由M在椭圆上可得等式$\sqrt{2}{x}_{0}-λ=-3$，即存在实数m=$\sqrt{2}$，使得mx₀-λ为定值-3．

解答解：（1）直线EF的方程为y=$\frac{b}{a}（x+a）$，将x=c代入得点D（c，b+$\frac{bc}{a}$），
则直线OD的斜率为$\frac{b+\frac{bc}{a}}{c}=（\sqrt{2}+1）×\frac{b}{a}$，可得a=$\sqrt{2}c$，则e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又2c=2$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，a=2，则b²=a²-c²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
设P（x₁，y₁），则$\overrightarrow{AM}=（{x}_{0}+2\sqrt{2}，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}+2\sqrt{2}，{y}_{1}）$，
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+2\sqrt{2}=λ（{x}_{1}+2\sqrt{2}）}\\{{y}_{0}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，
从而$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=λ{x}_{1}+2\sqrt{2}（λ-1）}\\{{y}_{0}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，∴$\frac{[λ{x}_{1}+2\sqrt{2}（λ-1）]^{2}}{4}+\frac{（λ{y}_{1}）^{2}}{2}=1$，
即${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}）+4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+8（λ-1）^{2}-4=0$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4$，代入得$4{λ}^{2}+4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+8（λ-1）^{2}-4=0$．
即$4\sqrt{2}λ（λ-1）{x}_{1}+4（λ-1）（3λ-1）=0$．
由题意知，λ≠1．
故${x}_{1}=-\frac{3λ-1}{\sqrt{2}λ}$，∴${x}_{0}=\frac{1+λ}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}{x}_{0}-λ=-3$．
故存在实数m=$\sqrt{2}$，使得mx₀-λ为定值-3．

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