Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k₁、k、k₂恰好构成等比数列，求出k，进而表示出|OA|²+|OB|²，即可得出结论；
（3）表示出△ABO的面积，利用基本不等式，即可求S的最大值．

解答 解：（1）由题意可知a=2b且$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好构成等比数列．
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
∴-4k²m²+m²=0，∴k=±$\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{3}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值为5．
（3））S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}•}|{x}_{1}-{x}_{2}\\;|•\\;\frac{|\\;m\\;|\\;\\;\\;}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{（2-{m}^{2}）{m}^{2}}≤\sqrt{（\frac{2-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}}）^{2}=1$．
当且仅当m=±1时，S的最大值为1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，等比数列的性质，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．