Question

5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=2$\sqrt{2}$，D为BC中点．
（Ⅰ）若E为棱CC₁的中点，求证：A₁C⊥DE；
（Ⅱ）若点E在棱CC₁上，直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，求CE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A₁C．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角α满足sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用向量法能求出CE．

解答 （Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系，A₁（2$\sqrt{3}$，0，2$\sqrt{2}$），D（0，0，0），E（0，-2，$\sqrt{2}$），C（0，-2，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，-2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+4-4=0，
∴DE⊥A₁C；
（Ⅱ）解：CE=a（0$≤a≤2\sqrt{2}$），则E（0，-2，a），A（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，a）
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x=0}\\{-2y+az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，a，2），
设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα=$\frac{2a}{a\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴a=1，即CE=1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．