Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=

π

4

与曲线

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由射线θ=

π

4

可得直角坐标方程：y=x（x≥0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中点M（x₀，y₀）．曲线

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数）消去参数t可得y=（x-2）²，把y=x代入可得x²-5x+4=0，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答： 解：由射线θ=

π

4

可得直角坐标方程：y=x（x≥0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中点M（x₀，y₀）．
曲线

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数）消去参数t可得y=（x-2）²，
把y=x代入可得x²-5x+4=0，
可得x₁+x₂=5，
∴x₀=

5

2

=y₀．
∴线段AB的中点的直角坐标为(

5

2

，

5

2

)．
故答案为：(

5

2

，

5

2

)．

点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．