Question

14．已知△ABC和△A₁B₁C₁满足sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁．
（1）求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数；
（2）求sin²A+sin²B+sin²C的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式的对称性，不妨设A和B为锐角，可求A=$\frac{π}{2}$-A₁，B=$\frac{π}{2}$-B₁，解得A+B=C₁，结合已知可得cosC₁=sinC=sinC₁，解得C₁=A+B=45°，从而可求C=135°，即可得解．
（2）由（1）可知，△ABC的三个角中有一个角为135°，设另两个角分别为α，45-α，利用三角函数降幂公式可得sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°+2α），根据正弦函数的性质即可求得最小值．

解答 解：（1）由对称性，不妨设A和B为锐角，则A=$\frac{π}{2}$-A₁，B=$\frac{π}{2}$-B₁，
所以：A+B=π-（A₁+B₁）=C₁，
于是：cosC₁=sinC=sin（A+B）=sinC₁，即：tanC₁=1，解得：C₁=45°，
可得：A+B=45°，
所以：C=135°
所以：△ABC是钝角三角形，且最大角为135°．
（2）由（1）可知，△ABC的三个角中有一个角为135°，设另两个角分别为α，45-α，
则：sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{1}{2}+$sin²α+sin²（45-α）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2α+sin2α）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°+2α），
故：sin²A+sin²B+sin²C的最小值为$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数降幂公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．