Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的一个动点，求z=3x+8y的取值范围．

Answer 1

分析 利用椭圆的参数方程及三角函数的性质求解．

解答 解：∵点P（x，y）是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的一个动点，
∴设椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）
则z=3x+8y=6cosθ+8sinθ=$10（\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ）$=10sin（θ+ϕ₀）
∵θ∈[0，2π），
∴z∈[-10，10]，即z=3x+8y的取值范围是[-10，10]．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的求法．