Question

（2012•三明模拟）已知数列{a_n}满足an+1=

1

2

an+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁≠2，求证数列{a_n-2}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等差数列，bn=an•(

1

2

)n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

1

2

an+1得an+1-2=

1

2

(an-2)，进而可得

an+1-2

an-2

=

1

2

(n≥1，n∈N)，即可证得结论；
（Ⅱ）由an+1=

1

2

an+1，及an=

1

2

an-1+1(n≥2)，两式相减，得an+1-an=

1

2

(an-an-1)，利用{a_n}是等差数列，可得d=0，从而可得数列的通项，进而可求数列的和．

解答：（Ⅰ）证明：由an+1=

1

2

an+1得an+1-2=

1

2

(an-2)，
∵a₁≠2，∴a₁-2≠0，∴

an+1-2

an-2

=

1

2

(n≥1，n∈N)
所以{a_n-2}是以a₁-2为首项，

1

2

为公比的等比数列．------------------------------（5分）
（Ⅱ）解：由an+1=

1

2

an+1，及an=

1

2

an-1+1(n≥2)，
两式相减，得an+1-an=

1

2

(an-an-1)．
又{a_n}是等差数列，于是a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=d，
所以d=

1

2

d，解得d=0，
于是a_n=a₁，代入an+1=

1

2

an+1得a₁=2，于是a_n=2（n∈N^*）．---------------（9分）
∴bn=an(

1

2

)n=(

1

2

)n-1，
于是Sn=

1×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=2×(1-(

1

2

)n)=2-(

1

2

)n-1．-----------------------（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．