Question

16．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（cosα，sinα）（α∈R），则$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 判断出动点A的轨迹为圆，画出图象，结合图象得到当OA与圆相切时，向量的夹角取得最值，解直角三角形OAC得到∠COB=$\frac{π}{4}$，∠COA=$\frac{π}{6}$，求出夹角的最值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{CA}$|=1
点A的轨迹是C为圆心，以1为半径的圆，
当OA与圆相切时，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角取得最值，
∵$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴∠COB=$\frac{π}{4}$，∠COA=$\frac{π}{6}$
∴$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的夹角的最小值为∠AOB=∠COB-∠COA=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$，
$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的夹角的最大值为∠AOB=∠COB+∠COA=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$，
故选：C

点评 本题考查利用圆的定义判断动点的轨迹、结合图象求出最值、考查数学结合的数学思想方法．