Question

(本小题12分)设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若=1 ,为整数,且当0时,，求的最大值.

 

Answer 1

（1）若，则，此时函数在R上单调递增；

若，则当时，；当时，.所以函数在上单调递减；在上单调递增.

（2）整数的最大值为2.

【解析】

试题分析：（1）首先根据函数的表达式可判断其定义域，然后对其进行求导可得，由于导函数中含有参数，将其分为两种情况：①，此时易判断出函数在R上单调递增；②，可求出其极值点，然后判断函数在极值点的左右两侧的单调性即可；

（2）首先将问题“当0时,”转化为“恒成立，其中”，即，记，求其导函数，由（1）知，函数在上单调递增，且在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点.从而得出函数的最小值并求出其取值范围，进而得出整数的最大值.

试题解析：（1）函数的定义域为R，所以.

若，则，此时函数在R上单调递增；

若，则当时，；当时，.所以函数在上单调递减；在上单调递增.

（2）因为，所以，所以当时，等价于，其中.

令，则.

由（1）知，函数在上单调递增，而，，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为，则.

当时，；当时，；所以在上的最小值为.又由可得，，所以，所以，故整数的最大值为2.

考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、导数在研究函数的最值中的应用.