Question

17．设函数f（x）=x²-2ax+3-2a的两个零点x₁，x₂，且在区间（x₁，x₂）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为{a|a＜-$\frac{7}{2}$，或 a＞$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 根据题意可得判别式△＞0，且x₂-x₁=2$\sqrt{{a}^{2}+2a-3}$∈（2，3），由此求得a的范围．

解答 解：∵f（x）=x² -2ax+3-2a 有两个零点x₁，x₂，
∴△=4a²+8a-12=4（a²+2a-3）＞0，∴a＜-$\frac{7}{2}$，或a＞$\frac{3}{2}$．
根据在区间（x₁，x₂）上恰有两个正整数，
可得 x₂-x₁=2$\sqrt{{a}^{2}+2a-3}$∈（2，3），
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+2a-3}＞1}\\{2\sqrt{{a}^{2}+2a-3}＜3}\end{array}\right.$，求得a＜-$\frac{7}{2}$，或 a＞$\frac{3}{2}$，
故实数a的取值范围为{a|a＜-$\frac{7}{2}$，或 a＞$\frac{3}{2}$}，
故答案为：{a|a＜-$\frac{7}{2}$，或 a＞$\frac{3}{2}$}．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数零点的定义，二次函数的性质，属于中档题．