题目内容

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）平面BEF∥平面PAD．

分析 （1）由PA⊥AD，得平面PAD⊥底面ABCD，由此能证明PA⊥底面ABCD．
（2）由E和F分别是CD和PC的中点，得EF∥PD，从而EF∥平面PAD，进而四边形ABED是平行四边形，由此能证明平面BEF∥平面PAD．

解答 证明：（1）因为PA⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩底面ABCD=AD，PA?平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD．…（4分）
（2）因为E和F分别是CD和PC的中点，所以EF∥PD，…（6分）
而EF?平面PAD，PD?平面PAD，
所以EF∥平面PAD；…（8分）
因为AB∥CD，CD=2AB=2ED，
所以四边形ABED是平行四边形，…（10分）
所以BE∥AD，而BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD；…（12分）
而EF?平面BEF，BE?平面BEF，EF∩BE=E，
所以平面BEF∥平面PAD．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

练习册系列答案
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17．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．$\frac{27}{2}π$B．27πC．27$\sqrt{3}$πD．$\frac{27\sqrt{3}π}{2}$
18．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$．
（1）$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（2）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（3）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．
15．设曲线C：y=-lnx（0＜x≤1）在M（e-t，t）（t≥0）处的切线为l，若直线l与x轴及y轴所围成的三角形的面积为S（t），则S（t）的最大值是$\frac{2}{e}$．
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17．已知i为虚数单位，则复数$Z=\frac{{1-\sqrt{3}i}}{{\sqrt{3}+i}}$的虚部为（　　）
A．1B．-1C．iD．-i

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