Question

13．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$成立，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先由${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$得|PF₁=|PF₂|+λ|F₁F₂|=|PF₂|+λ•2c，再由P是右支上的点，得到|PF₁|=|PF₂|+2a，由此能够求出λ的值．

解答 解：依题意，设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△I{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|，${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∵${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$
∴|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，
∵P为双曲线右支上一点，
∴2a=λ×2c，由双曲线的方程可知，a=6，b=8，故c=10，
∴λ=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{3}{5}$．
故选C．

点评 本题考查抛物线的定义，三角形的面积公式，考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，属于中档题．