Question

10．函数f（x）=sin⁴x+cos⁴x的最小正周期是$\frac{π}{2}$；单调递增区间是[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]．

Answer 1

分析 化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x
=1-$\frac{1}{2}$sin²2x
=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1-cos4x}{2}$
=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$；
又函数y=cos4x的增区间为2kπ-π≤4x≤2kπ，
即-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，
∴函数f（x）=sin⁴x+cos⁴x的单调递增区间是[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．
故答案为：$\frac{π}{2}$；[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．