Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，若a_n²≤a_n-a_n+1对于一切n∈N^*都成立．
（1）证明{a_n}中的任一项都小于1； 
（2）探究a_n与

1

n

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由

a

2 n

≤an-an+1，可得an+1≤an-

a

2 n

，由于a_n＞0，a_n+1＞0，可得an-

a

2 n

＞0解出即可．
（2）由（1）可知：0＜a_n＜1．得到a2≤a1-

a

2 1

＜

1

2

．猜想：an＜

1

n

(n≥2)．用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）由

a

2 n

≤an-an+1，
得an+1≤an-

a

2 n

，
∵a_n＞0，a_n+1＞0，
∴an-

a

2 n

＞0
解得0＜a_n＜1．
故{a_n}中的任一项都小于1．
（2）由（1）可知：0＜a_n＜1．
得到a2≤a1-

a

2 1

=-(a1-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

＜

1

2

．
猜想：an＜

1

n

(n≥2)．
下面用数学归纳法证明：
（i）当n=2时，成立．
（ii）假设当n=k≥2时成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

．
那么当n=k+1时，
ak+1≤ak-

a

2 k

=-(ak-

1

2

)2+

1

4

＜-(

1

k

-

1

2

)2+

1

4

=

1

k

-

1

k2

=

k-1

k2

＜

k-1

k2-1

=

1

k+1

．
∴当n=k=1时，猜想成立．
综上（i）（ii）可知：an＜

1

n

对于?n∈N^*都成立．

点评：本题考查了数学归纳法、猜想与归纳的能力、不等式的性质、配方法、二次函数的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．