Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=x+$\sqrt{2}$与椭圆C交于A，B两点，其中O坐标原点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与题意方程联立化为：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线AB的距离d，利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
联立解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，x₁x₂=$\frac{3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{9×2}{4}-4×\frac{3}{4}）}$=$\sqrt{3}$．
原点O到直线AB的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．