Question

13．已知A（-2，0）、B（2，0），P（2，4），动点满足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，M的轨迹为曲线C．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）过P作曲线C的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （1）设出M的坐标，求得$\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$的坐标，代入$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，整理得答案；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设斜率为k，写出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径，求得k值得答案．

解答 解：（1）设M（x，y），又A（-2，0）、B（2，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（-2-x，-y），\overrightarrow{MB}=（2-x，-y）$，
由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，得（-2-x）（2-x）+y²=0，即x²+y²=4．
∴动点M的轨迹方程为x²+y²=4；
（2）如图，动点M的轨迹为圆x²+y²=4．
当过P（2，4）的圆的切线斜率不存在时，切线方程为x=2；
当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y-4=k（x-2），
即kx-y-2k+4=0．
由$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴切线方程为3x-4y+10=0．
综上，所求圆的切线方程为x=2或3x-4y+10=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．