Question

已知函数f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=x-1，若实数m同时满足下列条件：
①对?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-1），使得f（x）g（x）＜0．
则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：由①可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由②可得：?x∈（-∞，-1），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，结合函数y=（x-2m）（x+m+3）的图象可得：2m＜-4，解之可得m的另一个范围，取交集即可．

解答： 解：∵g（x）=x-1，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
即

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，
解得-4＜m＜0；
又因为?x∈（-∞，-1），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=x-1＜0．
∴?x∈（-∞，-1），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-1），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故m满足

m＜0 2m＜-m-3 2m＜-1 -m-3＜1

，或

m＜0 2m＞-m-3 2m＜1 -m-3＜-1

m＜0 2m＜-1或-m-3＜-1

，
解第一个不等式组得-4＜m＜-1，解第二个不等式组得-1＜m＜0．
综上可得m的取值范围是：（-4，-1）∪（-1，0），
故答案为：（-4，-1）∪（-1，0）．

点评：本题为二次函数和一次函数的综合应用，涉及分类结合的思想，属中档题．解题时要认真审题，仔细解答．