Question

9．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中，第6项为常数项．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$的值；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．

Answer 1

分析 （1）在二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式中，令r=5，可得x的系数为0，求得n的值．再在二项式中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．
（2）利用二项式系数的性质，求得要求式子的值．
（3）设第r+1项的系数最大，利用通项公式列出不等式组，求得r的范围，可得结论．

解答 解：（1）二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{n-2r}{3}}$，
令r=5，可得$\frac{n-2r}{3}$=0，求得n=10．
令x=1，可得展开式中各项系数的和${（1-\frac{1}{2}）}^{10}$=$\frac{1}{1024}$．
（2）原式=C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{3}^{3}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$=165．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r-1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r+1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得 $\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}$，∴r=3，
∴展开式中系数绝对值最大的项为T₄=-15${x}^{\frac{4}{3}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．