Question

已知以1为首项的数列{a_n}满足：an+1=

an+1 (n为奇数) an 2 (n为偶数)

a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）写出a₂，a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，求数列{s_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1，n=2，n=3再利用递推关系式an+1=

an+1 (n为奇数) an 2 (n为偶数)

即可求出a₂，a₃，a₄
（2）先结合数列{a_n}的通项公式an=

3+(-1)n

2

的特征采用分组求和的方法来求前n项和s_n，再根据s_n的特征再用分组求和和等比数列的求和公式可求出数列{s_n}的前n项和T_n

解答：解：（1）由题意可得：a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1
所以a₂=2，a₃=1，a₄=2，an=

3+(-1)n

2

，
（2）∵sn=[

3

2

+ 

(-1)

2

]+″″′+[

3

2

+

(-1)n

2

]
∴Sn=

3n

2

+

1

2

•

-1[1-(-1)n]

2

=

3n

2

-

1

4

+

1

4

(-1)n
∴T_n=s₁+s₂+''''+s_n=

3

2

(1+ 2+″″+n)-

n

4

+

1

4

[(-1)+‘’‘+(-1)n]
∴Tn=

3

2

•

n(n+1)

2

-

1

4

n+

1

4

•

-[1-(-1)n]

1+1

=

3

4

n2+

1

2

n+

1

8

•(-1)n-

1

8

点评：此题第一问主要考查了利用数列的递推关系式求数列值和通项公式，常用代入法求数列值但本题要注意n的奇偶性第二问采用分组求和和常见数列的求和公式来求较复杂数列的和，因此常见数列的求和公式要记牢！