题目内容
18．棱长均相等的四面体A-BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是$[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，1]$．分析 由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面AEPQ所成角的余弦值，由此能求出平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围．
解答 
解：由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内，
则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ所成角的余弦值，
问题等价于平面APQ绕AP转动，
当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，
平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，
此时该正弦值为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，
此时正弦值为1．
∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．
点评 本题考查二面角的正弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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3．如图程序的输出结果为（ ）
| A． | （4，3） | B． | （7，7） | C． | （7，10） | D． | （7，11） |
8．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得表：
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：元）的平均数；
②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400，550]”为事件A，求P（A）的估计值．
（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得表：
| 日需求量n | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 频数 | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400，550]”为事件A，求P（A）的估计值．