Question

10．已知x＞0，y＞0，且x²-2xy+4y²=1．
（Ⅰ）求证：x+2y≤2；
（Ⅱ）求y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x²-2xy+4y²=1，变形为（x-y）²+3y²=1，换元，再利用三角函数知识，即可证明；
（Ⅱ）由y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，即可求出y的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：x²-2xy+4y²=1，变形为（x-y）²+3y²=1，
∵x＞0，y＞0，令y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，x-y=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]．
则x=cosθ+$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$．
∴x+2y=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴x+2y≤2；
（Ⅱ）解：∵y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，
∴y的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了三角变换、配方法、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．