题目内容
11．已知曲线f（x）=x3-3x及曲线y=f（x）上一点P（1，-2）．（I） 求曲线y=f（x）在P点处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）过P点的切线方程．
分析 （1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设切点为（x0，y0），求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程．
解答 解：（1）∵y=f（x）=x3-3x，
∴y′=f′（x）=3x2-3．
则在P（1，-2）处直线的斜率k1=f′（1）=0，
∴所求直线的方程为y=-2．
（2）设切点坐标为（x0，x03-3x0），
则直线l的斜率k2=f′（x0）=3x02-3，
∴-2-（x03-3x0）=（3x02-3）（1-x0），
∴x03-3x0+2=（3x02-3）（x0-1），
解得x0=1或x0=-$\frac{1}{2}$．
x0=1，所求直线的方程为y=-2
x0=-$\frac{1}{2}$，所求直线斜率k=3x02-3=-$\frac{9}{4}$，
于是所求直线的方程为y-（-2）=-$\frac{9}{4}$（x-1），即y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．
综上所述，所求直线的方程为y=-2或y=-$\frac{9}{4}$x+$\frac{1}{4}$．
点评 本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率和方程是解决本题的关键．注意区分在点P处与过点P处的切线方程．
练习册系列答案
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| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | log23 |
2．定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2sin$\frac{π}{2}$x-2，若函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | B． | （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1） | C． | （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$） | D． | （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1） |