Question

已知函数，点．

   （1）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；

   （2） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，

证明：直线与直线不可能垂直.

Answer 1

 解：（1）当时，，

令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值，

在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，

则只要且即可，即只要即可．

所以的取值范围是．      ………………… 4分

（2）当时，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

也即在对任意的恒成立．…………………6分

令，则．

记，则，

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，…………………8分

故也是最小值点，所以，

从而，所以函数在单调递增．

函数．故只要即可．

所以的取值范围是   ………………… 10分

（3）假设，即，

即，

故，

即．

由于是方程的两个根，…………………12分

故．代入上式得．

，…………………14分

即，与矛盾，

所以直线与直线不可能垂直．…………………16分