Question

8．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，x∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-$\frac{16}{3}$，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到导函数的符号，求出函数的单调性即可；
（2）求出函数的导数，得到函数的极大值点，解关于a的不等式，求出a的范围即可；
（3）求出x₂的范围，解关于a的方程，求出a的值和x₂的值，从而求出f（x）在区间[1，4]上的最大值．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x，
∵f′（x）=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{7}{4}$＜0，
∴f（x）在R递减；
（2）由f′（x）=-x²+x+2a=0，
解得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
则极大值点是x₂，令$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$＞$\frac{2}{3}$，
解得：a＞-$\frac{1}{9}$，
∴a的范围是（-$\frac{1}{9}$，+∞）；
（3）由（2）得f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）递减，在（x₁，x₂）递增，
当0＜a＜2时，x₁∈（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0），x₂∈（1，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
故x₁＜1＜x₂＜4，∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（x₂），
∵f（4）-f（1）=-$\frac{27}{2}$+6a＜0，
∴f（x）在[1，4]上的最小值是f（4）=-$\frac{40}{3}$+8a=-$\frac{16}{3}$，
解得：a=1，x₂=2，
∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（2）=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．