Question

下列函数一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的是

①③④

①f（x）=2^x ②f(x)=

1

1-x

   ③y=

(x-1)2

   ④y=log2(2x2+1)
（将所有正确选项的符号写在横线上）

Answer 1

分析：先证明定义域关于原点对称的任意函数都能分解为一个奇函数与一个偶函数之和，然后看哪些函数的定义域关于原点对称即可．

解答：解：对任意函数f（x），其定义域关于原点对称，令h（x）=

f(x)+f(-x)

2

，g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，则f（x）=h（x）+g（x）．
因为h（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=h（x），所以h（x）为偶函数；因为g（-x）=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-g（x），所以g（x）为奇函数．
即定义域关于原点对称的任意函数f（x）可分解为一个奇函数与一个偶函数之和．
②中函数f（x）的定义域为{x|x≠1}不关于原点对称，故不符合要求．①③④中的函数定义域均为R，关于原点对称，
故答案为：①③④．

点评：本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称的任意函数均能分解为一个奇函数与一个偶函数之和．