Question

已知直线

x=1+t y=-3 3 + 3 t

（t为参数）与圆x²+y²=16交于A，B，则AB中点M的极坐标为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把直线方程化为普通方程，与圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，利用根与系数即可得出中点坐标，再利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得出．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
由直线

x=1+t y=-3 3 + 3 t

（t为参数）消去t可得y=

3

x-4

3

．
联立

y= 3 x-4 3 x2+y2=16

，化为x²-6x+8=0，
∴x₁+x₂=6，∴x0=

x1+x2

2

=3．
∴y0=

3

x0-4

3

=3

3

-4

3

=-

3

．
∴M(3，

3

)．
∴ρ=

32+( 3 )2

=2

3

．
tanθ=

3

3

，θ=

π

6

．
∴AB中点M的极坐标为(2

3

，

π

6

)．
故答案为：(2

3

，

π

6

)．

点评：本题考查了把直线方程化为普通方程、直线与圆相交问题转化为方程联立、一元二次方程的根与系数、中点坐标公式、直角坐标与极坐标的互化公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．