Question

已知数列{ }、{ }满足：.

（1）求

（2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{ }的通项公式；

（3）设，求实数为何值时 恒成立.

 

Answer 1

（1） ；（2） ， ；

【解析】

试题分析：（1）由，

可求出 ；

（2）扣住等差数列的定义，从定义出发进行证明，

利用条件推导出，即得证：

∵

∴，

∴

∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列

∴

∴

（3）借助前两问，利用裂项求和法，可得出

，问题转化为

设f(n)= <0，恒成立问题，

对进行讨论，分三种情况，从而可得出答案，见详解.

试题解析：（1） ∵ ∴

（2）∵

∴，

∴ ， ∴

∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列

∴

∴

（3）已知 ，所以

由条件可知恒成立即可满足条件.

设f(n)=

当=1时，f(n)=-3n-8<0恒成立；

当>1时，由二次函数的性质知不可能成立；

当<1时，对称轴，f(1)在为单调递减函数，

f(1)= ==4-15<0

所以<

所以<1时恒成立

综上知，时 ，恒成立 .

考点：等差数列，等比数列，二次函数，分类讨论.