Question

设f(x)＝px－－2lnx，且f(e)＝qe－－2(e为自然对数的底数)

(Ⅰ)求p与q的关系；

(Ⅱ)若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

(Ⅲ)设g(x)＝，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f(x₀)＞g(x₀)成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意得f(e)＝pe－－2lne＝qe－－2　1分 　　(p－q)(e＋)＝0　2分 　　而e＋≠0 　　∴p＝q　3分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝px－－2lnx 　　(x)＝p＋－＝　4分 　　令h(x)＝px2－2x＋p，要使f(x)在其定义域(0，＋¥ )内为单调函数，只需h(x)在(0，＋¥ )内满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立．　5分 　　①当p＝0时，h(x)＝－2x，∵x＞0，∴h(x)＜0，∴(x)＝－＜0， 　　∴f(x)在(0，＋¥ )内为单调递减，故p＝0适合题意．　6分 　　②当p＞0时，h(x)＝px2－2x＋p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝∈(0，＋¥ )，∴h(x)min＝p－ 　　只需p－≥1，即p≥1时h(x)≥0，(x)≥0 　　∴f(x)在(0，＋¥ )内为单调递增， 　　故p≥1适合题意．　7分 　　③当p＜0时，h(x)＝px2－2x＋p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x＝Ï (0，＋¥ ) 　　只需h(0)≤0，即p≤0时h(x)≤0在(0，＋¥ )恒成立． 　　故p＜0适合题意．　8分 　　综上可得，p≥1或p≤0…………9分 　　另解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝px－－2lnx 　　(x)＝p＋－＝p(1＋)－　4分 　　要使f(x)在其定义域(0，＋¥ )内为单调函数，只需(x)在(0，＋¥ )内满足：(x)≥0或(x)≤0恒成立．　5分 　　由(x)≥0Û p(1＋)－≥0Û p≥Û p≥()max，x＞0 　　∵≤＝1，且x＝1时等号成立，故()max＝1 　　∴p≥1　7分 　　由(x)≤0Û p(1＋)－≤0Û p≤Û p≤()min，x＞0 　　而＞0且x→0时，→0，故p≤0　8分 　　综上可得，p≥1或p≤0　9分 　　(Ⅲ)∵g(x)＝在[1，e]上是减函数 　　∴x＝e时，g(x)min＝2，x＝1时，g(x)max＝2e 　　即g(x)Î [2，2e]　10分 　　①p≤0时，由(Ⅱ)知f(x)在[1，e]递减Þ f(x)max＝f(1)＝0＜2，不合题意．11分 　　②0＜p＜1时，由xÎ [1，e]Þ x－≥0 　　∴f(x)＝p(x－)－2lnx≤x－－2lnx 　　右边为f(x)当p＝1时的表达式，故在[1，e]递增 　　∴f(x)≤x－－2lnx≤e－－2lne＝e－－2＜2，不合题意．　12分 　　③p≥1时，由(Ⅱ)知f(x)在[1，e]连续递增，f(1)＝0＜2，又g(x)在[1，e]上是减函数 　　∴本命题Û f(x)max＞g(x)min＝2，xÎ [1，e] 　　Þ f(x)max＝f(e)＝p(e－)－2lne＞2 　　Þ p＞　13分 　　综上，p的取值范围是(，＋¥ )　14分