Question

7．已知f（x）=x³-3ax²-9a²x-bc其中（a＞0）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，现给出如下结论：①$0＜a＜\frac{1}{3}$；②$a＞\frac{1}{3}$；③b＞0；④b＜0；，则其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 求出函数的导数f'（x）=3x²-6ax-9a²，通过函数的单调区间，求出极值点-a，3a，⇒f（-a）=-a³-3a³+9a³-bc＞0，f（3a）=27a³-27a³-27a³-bc＜0，f（1）=1-3a-9a²-bc=0．b＜0，f（b）=b³-3ab²-9a²b-bc=0，f（c）=c³-3ac²-9a²c-bc=0．求出a即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²-9a²x-bc其中（a＞0）
∴f′（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a），
令f′（x）=0，解得x=-a，x=3a．
∴-a（-a＜0）是函数f（x）的极大值点，3a是函数f（x）的极小值点．
∵函数f（x）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，
∴f（-a）=-a³-3a³+9a³-bc＞0，f（3a）=27a³-27a³-27a³-bc＜0，f（1）=1-3a-9a²-bc=0．
b＜0，f（b）=b³-3ab²-9a²b-bc=0，f（c）=c³-3ac²-9a²c-bc=0．
化为：b²-3ab-9a²-c=0，c²-3ac-9a²-b=0．
相减可得：b+c-3a+1=0．
化为：5a³-bc＜0，27a³+bc＞0，
可得：9a²+3a-1＞0，a＞0．
解得a＞$\frac{3\sqrt{5}-1}{6}$＞$\frac{1}{3}$．
故答案为：②④

点评 本题考查了利用导数求函数单调性、极值，从而得到函数图象及根的分布，属于难题．