Question

11．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[{0，\frac{1}{2}}）}\\{{2^{x-1}}，x∈[{\frac{1}{2}，2}）}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）-f（x₂）的最小值为$-\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 先作出函数图象然后根据图象，根据f（x₁）=f（x₂），确定x₁的取值范围然后再根据x₁f（x₂）=x₁f（x₁），转化为求在x₁的取值范围即可．

解答 解：∵存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜$\frac{1}{2}$，
作出函数图象可知，${x_1}f（{x_2}）-f（{x_2}）={x_1}f（{x_1}）-f（{x_1}）={x_1}^2+\frac{1}{2}{x_1}-（{{x_1}+\frac{1}{2}}）$
=${x_1}^2-\frac{1}{2}{x_1}-\frac{1}{2}={（{{x_1}-\frac{1}{4}}）^2}-\frac{9}{16}$，当${x_1}=\frac{1}{4}$时，最小值为$-\frac{9}{16}$．
故答案为$-\frac{9}{16}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点和方程之间的关系，利用二次函数的单调性是解决本题的关键，综合性强，难度较大．