Question

3．直线l经过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（{a＞\sqrt{3}}）$的一个焦点和一个顶点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的$\frac{1}{4}$，则该椭圆的长轴长为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 4
• C． $\frac{16}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 由椭圆的方程可知，焦点在x轴上，2b=2$\sqrt{3}$，则直线方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，利用点到直线的距离公式可知$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$，即可求得c，由a²=b²+c²=4，a=2，椭圆的长轴长2a=4．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（{a＞\sqrt{3}}）$，焦点在x轴上，短轴长2b=2$\sqrt{3}$，
直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，
由椭圆中心到l的距离为其短轴长的$\frac{1}{4}$，
即d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$，
解得：c=1，
由a²=b²+c²=4，a=2，
椭圆的长轴长2a=4，
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．